$(1-3x{)}^{22}$ এর বিস্তৃতিতে কততম পদ মধ্যপদ?

দুইটি পদের সমন্বয়ে গঠিত বীজগণিতীয় রাশিকে দ্বিপদী রাশি (Binomials) বলা হয়।$a+b, x-y, 1+x, 1-x^2, a^2-b^2$ ইত্যাদি দ্বিপদী রাশি। আমরা প্রথমেই একটি দ্বিপদী রাশি $\left(1+y\right)$ চিহ্নিত করি। এখন $\left(1+y\right)$ কে যদি ক্রমাগত $\left(1+y\right)$ দ্বারা গুণ করতে থাকি তাহলে আমরা পাব ${\left(1+y\right)}^2, {\left(1+y\right)}^3, {\left(1+y\right)}^4, {\left(1+y\right)}^5,.........$ ইত্যাদি। আমরা জানি,

${\left(1+y\right)}^2=1+2y+y^2$

${\left(1+y\right)}^3=\left(1+y\right){\left(1+y\right)}^2=\left(1+y\right)\left(1+2y+y^2\right)=1+3y+3y^2+y^3$

অনুরূপভাবে দীর্ঘ গুণন প্রক্রিয়ার মাধ্যমে ${\left(1+y\right)}^4, {\left(1+y\right)}^5,.......$ ইত্যাদি গুণফল নির্ণয় সম্ভব। কিন্তু $\left(1+y\right)$ এর ঘাত বা শক্তি যত বাড়তে থাকবে গুণফল তত দীর্ঘ ও সময়সাপেক্ষ হবে। তাই এমন একটি সহজ পদ্ধতি বের করতে হবে যাতে $\left(1+y\right)$ এর যেকোনো ঘাত (ধরি $n$) বা শক্তির জন্য ${\left(1+y\right)}^n$ এর বিস্তৃতি সহজেই নির্ণয় করা সম্ভব হবে। $n$ এর মান $0,1,2,3,4,.....$অর্থাৎ অঋণাত্মক মানের জন্য এই অংশে আলোচনা সীমাবদ্ধ থাকবে। এখন প্রক্রিয়াটি আমরা ভালভাবে লক্ষ করি।

উপরের বিস্তৃতিসমূহকে ভিত্তি করে আমরা ${\left(1+y\right)}^n$ এর বিস্তৃতি সম্পর্কে নিম্নোক্ত সিদ্ধান্তে আসতে পারি।

ক) ${(1+y)}^n$ এর বিস্তৃতিতে $\left(n-1\right)$ সংখ্যক পদ আছে। অর্থাৎ ঘাত বা শক্তির চেয়ে পদসংখ্যা একটি বেশি।

খ)$y$ এর ঘাত শূন্য থেকে শুরু হয়ে 1, 2, 3, পর্যন্ত বৃদ্ধি পাবে। অর্থাৎ $y$ এর ঘাত ক্রমান্বয়ে বৃদ্ধি পেয়ে $n$ পর্যন্ত পৌঁছাবে।